L’Américain Daniel Larsen n’est pas un adolescent normal. À l’âge de 13 ans, par exemple, il est devenu la plus jeune personne à concevoir un jeu de mots croisés pour le New York Times. Maintenant, à 17 ans, ayez-le nombres premiers fait à l’adolescent.

Petit Fermat

Les nombres premiers sont connus pour être des nombres qui ne sont divisibles que par 1 et eux-mêmes. Il existe une infinité de nombres premiers, et le petit théorème de Fermat s’applique à tous. Le mathématicien Pierre de Fermat On a remarqué dès le 17ème siècle que si vous élevez un nombre entier – quel qu’il soit – à la puissance d’un nombre premier et soustrayez à nouveau le nombre d’origine, le résultat est toujours un multiple du nombre premier.

Souhaitez-vous un exemple? 3 est un nombre premier. Si vous calculez – arbitrairement – 16³-16, vous obtenez le nombre 4 080, qui est divisible par 3. 16⁵-16 donne 1 048 560. Le nombre est également divisible par le nombre premier 5. 13⁵-13 ? 371 280, qui peut aussi être divisé par 5. Il en va de même pour tous les nombres et les nombres premiers.

Jusqu’ici tout va bien. Mais il existe aussi des pseudo-premiers, comme les nombres de Carmichael. Ceux qui ressemblent à des nombres premiers et auxquels peu de Fermat peut aussi s’appliquer, mais qui ne sont pas des nombres premiers. Le plus petit Numéro Carmichael est 561, le plus petit suivant est 41 041 et ainsi de suite.

Une infinité de pseudo-premiers

Les mathématiciens n’ont réussi à prouver qu’au milieu des années 1990 qu’il existe également une infinité de nombres pseudopremiers. Comprendre comment ces chiffres sont distribués était encore plus difficile. C’est là que Larsen, 17 ans, entre en jeu.

Larsen a proposé un nouvel élément de preuve qui examine exactement cela. L’enfant d’un mathématicien et d’une mathématicienne s’est donné pour mission d’en savoir plus sur les pseudopremiers. Se produisent-ils à des intervalles spécifiques ou sont-ils arbitrairement éloignés ? Jusqu’à présent, personne n’a pu le dire avec certitude.

En novembre 2021, le mathématicien Andrew Granville – l’un des 3 chercheurs qui ont découvert en 1994 qu’il y avait une infinité de pseudopremiers – a ouvert un e-mail de Larsen. Ci-joint une preuve de Répartition des numéros de Carmichaelqui, à la surprise, avait la main et le pied de Granville.

Les pseudoprimes affaiblissent les processus cryptographiques

Tout cela n’est-il qu’un gadget ? Pas assez. Il y a encore de nombreuses questions autour des pseudoprimes, et beaucoup d’entre elles sont pertinentes pour le domaine de cryptographie Intéressant. La cryptographie moderne, c’est-à-dire les méthodes de chiffrement, utilise de grands nombres premiers pour chiffrer les messages. La meilleure façon de trouver de tels nombres premiers est d’utiliser le petit théorème de Fermat, qui, cependant, ne peut pas filtrer les pseudopremiers. Cela peut à son tour entraîner une pire cryptage mener.

« Le travail de Larsen correspond à celui d’un doctorant de haut niveau dans une université de haut niveau », explique le mathématicien Granville. « Il y a toujours des prodiges en mathématiques aux États-Unis, mais Larsen se distingue également parmi eux. »

Le jeune fréquente maintenant Massachusetts Institute of Technology et y étudie – comment pourrait-il en être autrement – les mathématiques. Où son voyage mathématique le mènera n’est pas encore clair. Mais vous pouvez être curieux.